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La
théorie de Markoff et ses développements
par
Serge Perrine
La
théorie de Markoff a été développée
à la fin du XIX ème siècle à partir
des fractions continues. Elle identifie les nombres algébriques
de degré 2 les plus mal approchables par leurs réduites
rationnelles, le « nombre d’or » étant
le pire d’entre eux, ce qui peut expliquer la fréquence
de ses apparitions dans la nature.
Cette
théorie n’est pas complète, et le présent
ouvrage décrit une perspective de généralisation
dont il développe le contexte géométrique.
C’est en particulier à partir de l’invariant
h de Dedekind, lui même lié à la théorie
des fonctions automorphes, que la généralisation
est possible. Le livre décrit les équations diophantiennes
à considérer, et la structure arborescente de leurs
solutions, le lien avec les courbes elliptiques et les idéaux
de corps quadratiques. Il interprète géométriquement
ces équations sur des tores percés, donne le lien
avec la théorie de Teichmüller. Il évoque
le lien découvert récemment avec la classification
des fibrés vectoriels exceptionnels et approfondit les
liens avec les fonctions automorphes et les algèbres de
Lie de dimension infinie. Il fournit un cadre pour l’interprétation
de quelques conjectures très importantes. Décrivant
également les liens avec la théorie ergodique et
la mécanique statistique, l’ouvrage évoque
différentes perspectives pour la théorie des groupes
quantiques et la théorie quantique de l’information.
Public:
Cet
ouvrage ne nécessite au départ que des connaissances
de base d’arithmétique, d’algèbre et
d’analyse. Destiné aux étudiants, chercheurs
et professeurs, il ouvre des perspectives de réflexion
habituellement trop éloignées pour être seulement
abordées. Les références détaillées
présentes dans l’ouvrage permettent tout approfondissement
souhaité.
- Un
formalisme général
- Bouquets,
forêts et arbres
- Analyse
du spectre de Markoff
- Vers
les courbes elliptiques
- tores
percés conformes
- La
théorie de Markoff classique
- Géométrie
conforme des surfaces
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